こんにちは。究進塾 編集部です。

今回は、高校3年生の9月に実施される、基礎学力到達度テストの、「理系数学」の概要と傾向の解説です。

基礎学力到達度テストとは、日大付属高校の生徒は、内部進学するためには必ず受けなければならない試験です。

文系数学の、難易度・出題範囲などについてご紹介します。

📝この記事のポイント ・出題の内容と難易度 ・おすすめの問題集と勉強のやり方 ・必要な勉強期間、1日の勉強時間 ・くわしい大問内容と頻出問題

はじめに
こちらの記事は、究進塾の講師、久松真人先生の解説動画を参考に、解説しています。音声を聞ける環境の方はぜひ動画をご覧頂き、久松先生の講義の雰囲気を掴んでいただければと思います。

動画紹介
【究進塾】基礎学対策チャンネル
【2022年版】高3-9月 基礎学力到達度テスト 理系数学の傾向と対策（所要時間： 50分57秒）

【日大付属高校-基礎学対策】2024年夏期講習（集団授業）開催のお知らせ

※こちらの講座は終了しました。ありがとうございました。

今年度も、9月の基礎学にむけて夏期集中講座の開催が決定しました！

詳しくはこちら！

試験の概要

難易度はそんなに難しくありません。過去問をご覧になった方はご存知だと思います。

教科書でいうと、章末問題と同じくらいのレベルです。

そうは言っても、文系数学と比べると、さすがに理系数学は少し難しいため、 「何も対策しなくても大丈夫だろう」と思っていると、足元をすくわれるかもしれません。

最低限の対策はしておく必要があります。

 

出題範囲

単元が偏ってる感じは全くありません。とにかく本全分野から広く浅く、まんべんなく出題されます。

理系数学なので、数Ⅲからも少しだけ出題があります。

ただし、数Ⅲの知識を必要とする箇所からは、あまり出ない印象です。具体的には、「微分積分(三角関数を微分、指数対数関数の微分、積分)」からは出ません。

 

主な出題範囲となるのは、

・二次曲線
・焦点曲線、放物線の焦点
・楕円の焦点
・極限の計算 など

これらが、主な出題範囲です。

加えて、

・数ⅠA
・数ⅡB
・既に学習している範囲

これらすべてから出題されます。

 

対策用問題集

過去問題をやり込むのがベストです。これは、出題形式がほぼ固定されているためです。

ただし、令和3年には出題傾向が少し変わった例もあり、完全に過去問頼りの対策だと、急に傾向が変わったときに大変なことになってしまいます。

基本問題については、教科書の章末問題、学校で使用している問題集を一通りやっておくと安心です。

とはいえ、いきなりガラッと傾向を変えるようなことはおそらくはないので、出来るならいきなり過去問に取りかかるのが一番効率的だと思います。

 

基礎から学ぶ方法

基礎から学ぶ必要がある場合、

・教科書の練習問題
・章末問題
・学校で配られる教科書準拠問題集

これらを使った練習が効果的です。準拠問題集の「応用」までは、手を出さなくても大丈夫だと思います。

＜教科書を使った練習方法＞ 教科書には例題があり、具体的な手順が示してあります。 それを見て真似しながら、下に書いてある練習問題をやってみる、これをスラスラできるようになるまで繰り返します。 できたら今度は、例題を見ないで解答を自分で再現できるか、というのを何回もやりましょう。

「同じ問題を、何回も解くのは嫌だ」という人もいますが、時間の間隔を空ければ、同じ問題を解き直すのにはそれなりに意味があります。

さすがに答えを覚えてしまっては役に立たないかもしれませんが、例えば1週間後にもう1回やってみるなどの工夫をしましょう。

 

 

自分で教科書を読んで理解できなかった場合

補足の参考書として、シグマベストシリーズ『これでわかる数学シリーズ』の説明がやさしいのでおすすめです。ⅠA、ⅡB、Ⅲと揃っていて、「参考書」と「問題集」の両方が出版されています。参考書の方を選び、解説を見てください。

ただ、参考書は人によって相性があるので、本屋さんで立ち読みして、自分がわかりやすそうなものがあれば、それを使用すると良いと思います。

 

基礎学の対策用に参考書を選ぶ基準

全部しっかり網羅されている参考書だと、必要以上の分量かもしれません。
そんなに欲張る必要はなく、とにかく簡単めで分量が絞ってあり、わかりやすいものを選んでください。

 

学習方針

教科書の演習問題で復習し、過去問で出題形式を把握するというのを繰り返すのが、基本の学習の形になると思います。

「教科書の練習問題は、一通り全部解いてみる」というのは、これはとにかく必要です。「受験を意識していれば、過去に習ったことは覚えている」というのが文部科学省の言う原則ではありますが、大抵の人がそうではないわけです。1年生の頃にやった分野なんて、あまり覚えてないと思います。

ですから、教科書の練習問題をとりあえず1周して、教科書の例題を見ながらやることで、忘れてしまった問題も表面部分に記憶を呼び戻しておけます。その上で、過去問にチャレンジしてみるのがいいと思います。

もし過去問をまず解いてある程度解けるなら、いきなり過去問から取りかかってもいいと思います。

どちらにせよ、記憶や知識を呼び起こすフェーズはあった方がいいと思うので、おすすめなのはこの学習の順番です。あとは、その解答で安定するまで、何回も繰り返します。

 

仕上げまでにかかる時間

人によりますが、平均的な話をします。

 

①定期テストで毎回、平均点程度～数学が得意だった人
3か月程度だと思います。忘れた部分を思い出す作業を含めた時間です。

定期テストの平均点程度をとれるということは、基本的な部分は一通り理解できているか、もしくは忘れているけど理解していたはずで、少し見ると思い出すはずです。そうなれば何とかなると思うので、3ヶ月という目安が立ちます。

 

②平均点も取れなかった人
難しいところですが、基礎学は定期テストよりおそらく簡単なので、望みがないわけではないです。

内部進学しようと思う場合に、基礎学は重要な試験なので、今までの定期テストは頑張れなかったかもしれませんが、ここは歯を食いしばって勉強しましょう。

とにかく基本のところだけでもいいです。

本当に数学が苦手な人はおそらく高得点よりも、平均点や50〜60点程度を取りたいと思います。教科書の基本問題などをしっかりやり込むようにすれば、それくらいの点数は行けるはずです。

 

1日の学習時間

この3～6ヶ月の期間、1日に必要な学習時間については、他の科目との兼ね合いもあるので一概には言えませんが、1日1～2時間ずつ数学をやっていけば、十分間に合うようになるはずと思います。

もちろん、同じだけ勉強したとしても人それぞれの個人差がありますので、これで仕上がってこない場合には勉強時間を増やすしかないです。

幸い、9月の基礎学の前には夏休みがあります。7月後半〜8月の間は学校がお休みなので、その気になれば1日10時間でも12時間でも、勉強できるわけです。どうしても間に合わないという人は、そこで踏ん張って勉強しましょう。

 

各年の出題傾向

過去5年分の過去問から、出題内容を紹介します。令和3年の出題を例にとって、大問1～8に分けてまとめています。

大問1：小問集合
(1)二次関数のグラフの平行移動
(2)余弦定理を使って三角形の何かを計算する問題
(3)複素数の計算など
(4)整式の商と余り
(5)円と直線
(6)指数の計算
(7)楕円の焦点を求める問題
(8)極形式と累乗、ドモアブルの公式

(1)	二次関数のグラフの平行移動	(1)～(3)の辺りは、ほぼ毎年のように出ている問題です。 過去問を見て問題の感じを把握して、確実にできるように練習しておきましょう。
(2)	余弦定理を使って、三角形の何かを計算する問題
(3)	複素数の計算など
(4)	整式の商と余り	令和3年では聞かれ方が少し変わっていて、単純に割り算すれば出てくるのではない辺り、例年出ていた問題より少しだけ難しくなっていました。 問題の端々から、少し傾向を変えたいと思ってる感じが見て取れます。おそらく共通テストを意識して問題を作っているのではという感じがします。 共通テストはセンター試験の頃よりも考えないと解けない問題が出ているので、それに合わせようという姿勢が見えます。 今後は、かつてより少し考えないと解けないものが出題されるかもしれません。
(5)	円と直線	円と直線がぶつかっていて、2点共有点の距離、円が直線から切り取る弦の長さを求める問題が出ます。 高校3年、4月の基礎学で、隔年で出てるような問題です。過去問をやっている人には、おなじみの問題です。
(6)	指数の計算	指数の計算でした。 少し厄介な分数が入った計算ですが、理系なのでこれくらいは出来てほしいという感じの出題です。 数Ⅱですが、指数の計算はしっかり慣れておいてほしいです。
(7)	楕円の焦点を求める問題	楕円と双曲線の焦点が毎年交互に出ています。100%とは言えませんが、ローテーションです。 2次曲線は ・楕円 ・放物線 ・双曲線 この3種類です。 3つとも焦点を求められるように勉強しておきましょう。
(8)	極形式と累乗 ド・モアブルの公式	極形式と累乗、ド・モアブルの公式の出題でした。 以前は、大問8に複素数平面の問題が出ていましたが、令和3年は傾向が変わった部分でした。 正直、極形式の話はそんな難しくないので、この年に関しては格下げになったのかなという感じです。

 

大問２：数ⅠAから出題
毎年のように数ⅠAの中で、細々とした、メインストリームから外れた部分の問題が出ます。

(1)	箱ひげ図	箱ひげ図を見て答えを選択したり、逆にデータが示されて、それを表す箱ひげ図を選択する問題です。 毎年出ています。絶対に対策しておきましょう。 ただし、そんなに難しくありません。やり方を抑えておきましょう。
(2)	最大公約数を求める問題 ユークリッドの互除法	割と頻出です。5年のうち3回出題があるくらいです。 そうでない年は、約数の計算、一進数の計算などが出ます。 互除法の計算の仕方は、押さえておいてください
(3)	循環小数を分数で表す問題	これはそんなに困る人はいないとは思います。 正式に習うのは高校1年生かもしれませんが、中学生でもできるレベルです。手順が完全に決まっています。 毎年必ず出るかというと、可能性は微妙ですが、出題されてできなかったらショックが大きいので、勉強しておきましょう。

 

大問３：確率
毎年確率の問題です。文系の問題は、全部数えて書き出したとしても大した数ではありませんが、さすがに理系の確率は、全部書こうとしたら日が暮れます。

それでも、令和3年には「4人でじゃんけんする問題」で、全部でも81通り程度です。ただ、81通り全部書くのはちょっと…ということで、CK、PKなどを使って計算しましょう。

・手の出し方が何通りか
・2人だけ勝つ確率
・あいこで全員の手が一緒となる条件付き確率

こうしたものが出ます。理系の問題の特徴で、条件付き確率が毎年出ます。定義と計算の手順はしっかり練習しておきましょう。

 

大問4：微分法、積分法

(1)	関数が与えられ、極小値を求める問題	極大、もしくは極小を求める問題が過去5年とも出ています。 確実に毎年出ると思います。 ・極大、極小の求め方 ・増減表の書き方 これについては、しっかり勉強しておいてください。
(2)	接線の計算	接線を求める問題もよく出ます。 高校生の間だと、 ・接線を求める ・増減表を書く これが、微分法の2大用途なので、その2つはちゃんとできるようになってほしいという意図なのでしょう。 接線計算の場合、 ・接点がわかっている時 ・わかっていない時 どちらの場合も、できるように練習しておくといいと思います。
(3)	積分と面積の問題	令和3年の場合、(2)で求めた接線と、元の放物線、x軸で囲まれた部分の面積を求める、積分と面積の問題でした。 放物線なので、6分の1公式が使えます。 これも過去5年とも出ているので、しっかり練習しておけば、確実に点数源になります。ほぼ100％出るとわかってる単元を、練習しない手はありません。

 

大問5：三角関数と指数対数関数
例年、三角関数と指数対数関数は、別でそれぞれ大問1個分でしたが、令和3年は合わせて1つの大問になっていました。三角関数と指数対数関数、三角関数が苦手な人は以外と多く、そういう人たちからすると、三角関数の問題が減ったという意味では喜ばしいことなのかもしれません。

(1)	桁数を求める問題	常用対数の応用として有名なものです。 「2の何十乗の桁数は何桁の数字か」という話です。
(2)	ログを含む方程式	「この方程式を満たすxは何か」という問題です。対数関数を含む方程式、不等式には、2パターンあります。 ①ログのばらした状態で、ログの1次式になっているもの ②ログの2次式以上になっているもの 令和3年には2乗が出てくるタイプでした。 いずれが出たとしても対処できるように、しっかり練習しておきましょう。
(3)	三角関数を含む不等式	こちらも置き換えると ・二次式に見えるもの ・合成をさせるもの ・2つの式の積になるもの と、パターンがあります。 これも理系の試験では、割と出題頻度が高い問題です。 過去問をやり込んでいれば「あれだ」とわかったりすると思います。過去問をしっかりやり込んでおくことが重要です。

 

大問6：ベクトル

(1)	規定を用いてベクトルを書く問題	aベクトル、bベクトルを使って、規定を用いてベクトルを書く問題です。 ベクトルの問題としては本当によく見かけるので、しっかり練習しておいてください。
(2)	内積 ベクトルのなす角を求める問題	内積周りの話です。 内積を使う問題は、聞かれ方を少しずつ変えながら毎年のように出題があります。
(3)	ベクトルの長さを計算する問題	これも全部内積の話です。内積はすごく重要だということです。 長さと角度という概念、両方とも司っています。

ベクトルについては、典型題に近い問題しかありません。とんちをきかせないと解けない問題はなく、完全に定石通りにやっていけば解ける問題ばかりです。そういう意味で、練習さえすればできますので、しっかりやれば、得点源になってくれるはずです。

 

大問7：数列

(1)	等差数列の一般項	以前は、毎年のように等差数列の一般項が聞かれていました。 これもほぼ一緒ですが、ただちょっと聞かれ方が変わりました。 「条件を満たす等差数列があったとき、-80はその等差数列の何番目の項か」 という出題です。 ちなみにどうすればいいかというと、等差数列の一般項を含む形で出して=-80とし、Nの方程式だと思って解けば、答えが出ます。 差数列の一般項を求める問題も、過去4年に出てるものと一緒です。そして一緒と見なすならば、実質過去5年に必ず出ていることになります。 等差数列の一般項を求める手順は、絶対に勉強しておいてください。
(2)	隣接2項間漸化式の解法 一般項を出す問題	マークシートと相性がよくないのであまり問われることがなかったのですが、令和3年では出題されました。 今後少しずつ難易度を上げていく気配を感じます。 「世の中の傾向と合わせて、日大側からも内部選抜の試験をもう少し難しくするようお達しが出ているのでは…」という噂が、まことしやかにささやかれています。 本当かどうかわかりませんが、今後難易度が少し上がる予想があります。この辺りにもそれが出ていて、「群数列の和を求めよ」という問題がありました。 「いろいろな数列」の単元で、 ・階差数列 ・分数型の数列の和 ・等差等比型数列 ・群数列 が登場しますが、結構難しいです。 漸化式の1個前の単元ですが、難しいがゆえに、多くの人が結構できない単元です。 かつてはそんなに出題されなかった部分です。いろいろな数列の単元は、解法を押さえておくと非常に良いでしょう。 高得点を狙いたい人は、しっかりやっておく必要があります。「60点ぐらいでいい」という人からすると、ここはすごく大変なので、人によっては諦めて捨て問にする手も考えられます。

 

大問8：関数の極限
例年は複素数平面の問題でしたが、令和3年は数Ⅲの単元を入れてきました。

以前の基礎学9月の理系では、大して数Ⅲらしい部分を入れず、大問1の小問集合に極限や無理式の極限について計算する問題が毎年出ていましたが、令和3年では1つの大問として独立して出てきました。

ただ、関数の極限、無理式の極限などはやり方が完全に決まっているので、そこだけ押さえてあれば大したことではないんです。

しかし最後の問題が、ある規則で次の図形を書いてさらにまた同じ規則で図形を書いて…を無限に繰り返すという、数Ⅲとしてはよくある問題です。

基礎学レベルとしてはちょっとレベルが高いですが、普通の入試ではよく見る問題で、やはり少しずつ難しくしていこうとしてるのではと思われます。

 

総合的に
全体として内容がガラッと変わったわけではありません。しかし例年と全く同じではなく、複素数平面が小問に格下げになったり、代わりに極限と無限和など数Ⅲの要素が大問に追加されました。数列、確率も少し難しめの出題がありました。

難易度が少し変わっていく傾向は、今後も続いてくのではと感じられるので、少し気合を入れて勉強してください。

 

単元別の出題率

以下は、過去5年のうち5回とも出ている単元です。

・2次関数の平行移動
・複素数の計算
・箱ひげ図
・条件付き確率
・極大値、極小値
・積分、面積 (6分の1公式)

この辺りは確実に毎年出ているので、しっかり練習しておいてください。

過去問は、本番が来るまでに全部やると思いますが、しっかり勉強すると「この問題って本当に毎年出てるんだ」と実感できます。つまりそこはできるようにしておくと確実に点数になります。

 

そして次に、5年中の4年出題があった問題です。

・余弦定理
・無理式の極限
・指数の計算
・等差数列の一般項
・無限等比級数

やはり出る確率が非常に高いので、しっかり練習しておくべきです。

 

また、ここに載っていない単元でも、3種類のうちどれかから出るパターンが非常に多いです。過去問を5年分くらいやると、3パターンすべてに触れることができるので、4～5年分過去問をやってみて完璧に解けるようになっていれば、実際に受ける基礎学テストでもその中のどれかから出る可能性が高いです。

一通り解法を思い出したら、過去問をひたすらやり込むのがいいと思います。

 

まとめ

高校3年生9月の理系数学、基礎学力到達度テストの傾向と対策について解説しました。

だんだん難しくなっている気がしますが、ちゃんと事前に準備して立ち向かっていけば、1～2問ぐらいできなくてもある程度は仕方がないとして、それ以外について全くできないことにはならないと思います。

難易度が少し上がったとしても、大部分は基本問題に変わりありません。本当に上位を目指す人は、気合を入れて応用問題の練習もしてください。

また今後は、考えさせる問題が増えると思われます。今のご時世的に、機械的にこうすればできるというものは、どの分野でも減っていくと想定できます。そういう時代に対応するためにも、勉強するときは理由や背景をしっかり考えながら勉強を進めましょう。

 

おわりに

今回の解説は以上です。究進塾では過去問や予想問題、参考書などを使って基礎学対策を行っています。ご興味のある方は「無料体験授業をご希望の方」からお気軽にご相談ください。

究進塾 編集部