こんにちは。究進塾 編集部です。

この記事は、江口先生の解説動画「電磁気学 第2回 クーロンの法則、電場、電位」の解説で必要な、数学の補足解説記事です。

電磁気学では、物理学、電磁気学を扱うにはどうしても数学が必要になってくるため、必要となるところのみ、復習解説をします。

 江口和弘講師
「【大学物理】電磁気学 第2回 – Coulombの法則, ベクトル解析の基礎, 電波, 電位,立体角」より

動画目次

1.  ベクトルの内積、外積、3重積（10:23～）
2.  ベクトルの微分演算（19:20～）
3.  面のベクトル表示（22:47～）
4.  線積分、面積分、体積積分（23:39～）
5.  ベクトルの積分定理（26:07～）
（分数をクリックすると該当箇所が別窓で開きます）

面ベクトル

「面をベクトルで表す」ということをよくやっていくので、例をあげて紹介します。

＜例＞大きさが\(3S\)の面積の面があったとして、この面をベクトルで表すということをします。
①まず当然、大きさは\(S\)
②ベクトルなので、向きを持たせてやらなければいけない。その向きはこの面に垂直の方向、つまり「法線の方向に取る」ということになる。

「法線」とは、この面に垂直な方向のことを言います。

「ベクトル\(S\)」と表されると、「この面に垂直で、面積と同じ大きさを持ったベクトルですよ」という表現をします。

これが「面のベクトル表示」です。こちらもよく使っていきます。

 

🔵線積分、面積分、体積積分
積分の拡張で「線積分、面積分、体積積分」の3つをやっていきます。
高校のときにやった積分は、あくまでも直線でした。

 

🔵線積分

「関数があって、\(x\)軸に沿って積分していった」、これが高校の授業で習った積分です。

では、積分するこの直線が、曲線になっていてもいいわけです。

Bの方向にずっと積分していきます。このようなことを「線積分」と呼んでいます。

\(\displaystyle \int_{A}^B φds\)

そのときに、各々な量がスカラー(=方向を持っていない)量である場合は、単純に値A〜B間をずっと分割していき、全部足し算(＝積分)してやればいいことになります。

では黄色の矢印のように、2つの量がどちらもベクトルを持っていたとします。

点AからA方向、B方向ともにベクトルを持っているときの積分量は、Aとこの時の接線方向の微小量、微小の長さ\(ds\)、それがそれが内積を取ってます。

\(\displaystyle \int_{A}^B A・ds\)

これが線積分です。

 

🔵面積分
線積分を、さらに面積分に拡張します。

💡面積分の考え方

非常に微小な\(dx・dy\)という面積を考えます。

\(dS\)に対して、ベクトル\(A\)があるとき、面積分の「面のベクトル表示」=\(dS\)と、内積を取ったものを積分していきます。

スカラーの場合はそのまま\(φ\)を積分します。

これを全部、この面内で足し算すればいいわけです。

\(\displaystyle \int_{A} φds\)
\(\displaystyle \int_{A} A・ds\)

 

🔵体積積分

面積分と同じように、体積積分を考えます。

微小な体積\(dx・dy・dyz\)という立方体を考えます。これに、ここでの値を考え、これを全部この空間で足し算してしまえばいい、ということです。

\(\displaystyle \int_{V} φdv\)

これが体積分です。このあたりもよく使っていきます。

電磁気学に限らず、色々な物理学(特に力学など)で使っていく数学です。

ベクトルの積分定理

大事な定理が2つあります。

・Stokesの定理
・Gauss(発散)の定理

今回は証明は省略し、結果だけ掲載します。

🔵Stokesの定理

微分演算子を使った表現をすると、以下の式になります。

①微分演算子を使った表現
\(\displaystyle \int_{S} ∇× A・ds = \oint_{C} A・ds\)

②rot(rotation)、ds(divergence)を使った表現
\(\displaystyle \int_{S} rot A・ds = \oint_{C} A・ds\)

①と②は、表現が違いますが、全く同じことを言っています。
難しいことは別にして、まず大事な要素を抑えましょう。

「要するにこれは何の関係なのか？」というと、ある閉ループを取ったときに\(\oint_{C}\)の右側の\(c\)は、「この閉ループに沿ってAを積分していく」つまり線積分を一周やっている、ということです。

積分記号の(\oint)\の◯は「周回積分」といって「一周回りますよ」という記号です。

つまり、線積分を一周ぐるっと回すとこれのローテーション、\(∇×A\)つまり\(∇\)との外積を取ったものがあるわけですが、これを全部、面積で足したものに等しくなります。

これがStokesの定理です。

🔵Gaussの（発散）定理

次に、Gaussの定理です。

\(\displaystyle \int_{v} ∇Adv = \int_{S} A・ds\)
\(\displaystyle \int_{v} div A・dv = \int_{S} A・ds\)

今度は、ある空間に、空間領域（立体）を取ります。

その時、左辺\(\displaystyle \int_{v} div A・dv\)は、色々な空間でAつまりベクトル量が、その座標によってありますが、これの発散を全部体積で足し算していったもの、これが左辺です。

そして、中身は関係なくて、この表面に出ているところだけ、表面積だけを足して面積分をする。つまり内積を取って積分していきます。