こんにちは。究進塾 編集部です。今回は、川崎医科大学附属高校の平成31年一般入試「理科」の第3問を解説です。

第3問の内容

問題は物理分野からの出題で「力学」に関する問題です。

問題

問題が長いので、(1)と(2)で分けて、順に解説します。ちなみに(1)は基礎レベルの問題で、(2)はやや難しい問題になっています。

(1)の解答

(1) 【実験 1】について、次の問いに答えなさい。 ① おもりの質量とばねＡの伸びには、どんな関係があるか。 ② おもりの質量が125gのとき、ばねＡの伸びは何cmになるか。 ③ ばねＡの伸びが4cmになるのは、おもりの質量が何gのときか、小数第1位を四捨五入して答えなさい。

① おもりの質量とばねＡの伸びには、どんな関係があるか。
ばねの重りの質量と、ばねAの伸びにはどんな関係があるかを考えますが、グラフを見れば一目瞭然です。
このグラフは、原点を通る直線になっています。ということは、ばねAの伸びと重りの質量の関係は原点を通る直線なので「比例関係にある」と。グラフを見れば、知らなくても一発で解答が分かるという問題です。

A.　比例関係

② おもりの質量が125gのとき、ばねＡの伸びは何cmになるか。
比例関係にあるので、比例の式を求めてあげればいいわけです。質量をxとして、ばねの伸びをyとして式を作ってみます。表を見ると、おもりの質量の軸\(x\)が100いったところを見ると、ばねＡの伸びの軸\(y)は12上に登っているので、比例定数は\(\frac{12}{100}\)です。

なので、\(y\)と\(x\)の関係は、\(y=x\)というふうに求めることができます。この式ができれば簡単に求めることができます。

質量を\(x\)[g]、伸びを\(y\)[cm]とすると、\(y=\frac{12}{100}x\)

②は、重りの質量が125なので、\(x\)に125を入れて計算すれば、先ほどの式の\(x\)に125を入れて計算すると答えは出てきます。答えは15cmです。

A.　15 [cm]

③ ばねＡの伸びが4cmになるのは、おもりの質量が何gのときか、小数第1位を四捨五入して答えなさい。
③は逆で、今度は伸びが4cmの時、重りの質量は何gかということです。これは、\(y\)のところに4を入れればいいわけなので、まずこの\(y=\frac{12}{100}x\)の式を、「\(x=\)～」の式に直して、\(y\)に4を代入します。そうすると33.3と答えが出てきます。

\(x=\frac{100}{12}×4＝33.3\)

そして、「少数第1位を四捨五入して答えなさい」ということが書いてありますので、答えは33gとなります。

A.　33 [g]

(2)の解答

こちらはやや難しい問題です。

① 物体を点Ｐから点Ｑへ引き上げるとき、ばねＡが物体をひく力は何Ｎか。
先ほどの「100gの物体に働く重力の大きさが1N」ということで、ニュートンを換算してあげればいいわけです。なので、これも\(x\)を求めるので、

\(x=\frac{100}{12}×4.8\)cm

そうするとおもりは40g。(1)の実験で40gのおもりを下げた時と同じということです。そうすると100gが1Nなので、40gがぶら下がった時の重力の大きさは0.4Nになります。

\(x=\frac{100}{12}×4.8 = 40[g] =0.4[N]\)

A.　0.4[N]

② 斜面には摩擦があり、物体が斜面上を動いている間の摩擦力の大きさは0.1Ｎであった。ＰＱ間の距離は何mか。
すぐ思いつくのは、坂道を上げる時に重力に逆らって上げたのと（右側の垂直矢印）、引き落とそうという力に逆って上げようとした時（左側の斜めの矢印）の仕事は同じですよ、っていうのが仕事の原理です。

しかし、この問題を難しくしているのは、「摩擦力がある」ことです。摩擦力があると、仕事の原理は基本的に成り立ちません。なのでそこを考えなきゃいけないわけです。

①の答えで引いてる力は0.4Nということが出ています。また、摩擦力というのは「動かしてる方向と逆向きにはたらく」のが摩擦力、いわゆる抵抗力なので、この場合は斜面に沿って下向きに0.1Nという力が働いてます。

で今は、元々この物体を、重力が滑り落とそうとする力が働いていて、これが分からないわけです。そうすると、ここの釣り合いの式から考えて、0.4と0.1なので滑り落とそうとしてる力は0.3Nということが分かるわけです。

そうすると、この0.3Nに対して仕事の原理を使えば答えが出るわけです。

まず斜面に沿って上げようとすると摩擦がないと仮定して0.3×Lとします。で、75gの質量ですのでまっすぐ持ち上げようとすると0.75です。それと0.75Nで0.3に上がるわけですから、まっすぐ上げた場合は0.75×0.32。これは摩擦力を抜いて考えたので、ここでは仕事の原理が成り立ってるのでこれが等しいとおけます。

物体を滑り落そうとする力は\(f\)は、\(f=0.4-0.1=0.3\)[N]
よって、\(0.3×L=0.75×0.32\)　（仕事の原理）

ここからLを計算すると、Lは0.8mと出ます。

\(L=\frac{0.75×0.32}{0.3}=0.8\)[m]

③ 物体を点Ｐから点Ｑに引き上げた後、点Ｑで静止させるとばねＡの伸びが変化した。この時物体にはたらく摩擦力は斜面に沿って上向きに0.05Ｎであった。ばねＡのの伸びは何cmになるか。

静止してるわけですから力が釣り合っているわけなので、それを書いてあげます。まず今回バネの引く力を分からないのでFと置いておきます。

滑り落とそうとしている力は②で計算したので0.3Nです。

次に、摩擦力が0.05Nなんですが、問題文にあるように、この摩擦力は斜面に沿って上向きに働いているので、「この向きに0.05N」ということになります。そうするとこの3つの力が釣り合っているわけですから

\(F = 0.3-0.05 = 0.25\)N

ということが求められます。そして、その時の伸びを求めたいわけですから、重力0.25Nに換算して質量に直してあげると、25gをばねにぶら下げた時の伸びと同じ、ということになります。

なので①で一番最初に出した式に、xに25を入れてあげると、ばねの伸びyが計算できます。

\(y = \frac{12}{100} × 25 = 3\)[cm]

A.　3[cm]

まとめ

以上、平成31年一般入試「理科」の第3問を見てきました。次回の川崎医科大学附属高校の入試対策は、「数学」の「関数(1次,2次)と図形」の過去問解説を掲載予定です。

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