こんにちは、究進塾数学講師 編集部です。今回は、線形代数の解説の続きで、行列の対角化を解説していきます。

大学1年生で線形代数学を勉強してきたと思いますが、この行列の対角化は、そのハイライトのようになります。

行列の対角化の計算ができれば、線形代数は「とりあえずは大丈夫」と言っても過言ではありません。しっかりと手順を覚えてほしいと思います。

では早速みていきましょう。

行列の対角化

\(A \ = \ \left( \begin{array}{crl} -2 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right)\)

 

\(A\)という3行×3列の行列を例にとって解説していきたいと思います。（この行列は以前の動画で使った行列と一緒です。）

行列の対角化ですが、手順は完全に決まっています。そのため、手順をしっかり覚えるといいと思います。

手順①

まず最初にやらなくてはいけないことは、この行列の固有値を計算することです。これがないと何も始まりません。何がなくとも固有値を計算しないといけない、ということになります。

前回の動画で紹介したように、固有値を求めるためには、この行列の「固有多項式」を計算する必要があります。

固有多項式（固有方程式）の解を求めることによって、行列の固有値を求めることができます。

この行列の固有多項式\(Φ_A(x) \ = \ det \begin{pmatrix} -2-x & 2 & 4 \\ -2 & 3-x & 2 \\ -2 & 1 & 4-x \end{pmatrix}\)\(= (-2-x)(3-x)(4-x) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) + 4 \cdot (-2) \cdot 1 – (-2-x) \cdot 2 \cdot 1 – 2 \cdot (-2) \cdot (4-x) – 4 \cdot (3-x) \cdot (-2)= -(x-1)(x-2)^2\)となる。つまり、方程式\(Φ_A(x) \ = \ 0\)の解は\(x \ = \ 1, \ 2\)である。したがって固有値は\(1, \ 2\)となる。

 

なんとなく書いてありますが、固有多項式というのは\(Φ_A(x) \ = \ det(A-xE)\)です。

「\(A-x\)倍のE（単位行列）」という行列のdeterminant（行列式）を取ったものを「固有多項式」と呼びます。\(x\)の多項式になります。行列のサイズが\(n×n\)行列だったとすると、\(n\)次多項式になるということが知られています。この定義より、この\(A\)に対して計算してみたものが\(\begin{pmatrix}
-2-x & 2 & 4 \\
-2 & 3-x & 2 \\
-2 & 1 & 4-x
\end{pmatrix}\)のようになります。

3行3列の場合、「行列式を計算するときは、斜めにやってあげればいい」と習ったと思います。

青い線の方が\(+\)、赤い線の方が\(-\)とすると、3\(×\)3の行列式の時はこれで計算することができます。

それに従って計算したものが、\(= (-2-x)(3-x)(4-x) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) + 4 \cdot (-2) \cdot 1 – (-2-x) \cdot 2 \cdot 1 – 2 \cdot (-2) \cdot (4-x) – 4 \cdot (3-x) \cdot (-2)= -(x-1)(x-2)^2\)です。

【プラスの計算】 \((-2-x)(3-x)(4-x)\) \(2・2・(-2)\) \(4・(-2)・1\)【マイナスの計算】 \((-2-x)・2・1\) \(2・(-2)・(4-x)\) \(4・(3-x)・(-2)\)

 

そして、途中は省きますが展開して整理すると、\(-(x-1)(x-2)^2\)という形になります。そうすると、固有多項式\(= \ 0\)として解いた解というのは\(x=1, \ 2\)となります。

この方程式の解が、この行列の固有値ということになるので、1と2というふうになります。

固有値が求め終わった後、次にやることは、「その固有値に属する固有ベクトルを求める」ということをやる必要があります。（この辺りまでのやり方は、前回やったような内容なので、詳しくはそちらを見てください。）

固有値1に属する固有ベクトルを探す場合、\(A-1\)倍の単位行列\(× \ u \ = \ 0\)となるベクトル\(u\)というのを探せばよい、ということになります。

これを計算すると次のようになります。

\(A \ = \ \left( \begin{array}{crl} -2 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \end{array} \right)\)この行列の固有値は\(1, \ 2\)である。■固有値１に属する固有ベクトル\((A \ E)u \ = \ 0\)を満たすベクトル\(u\)を探せばよい。\(\begin{pmatrix} -2-1 & 2 & 4 \\ -2 & 3-1 & 2 \\ -2 & 1 & 4-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)\(\begin{pmatrix} -3 & 2 & 4 \\ -2 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)となる。これを解いて、\(x \ = \ 2z, \ y \ = \ z\)を得る。すなわち、\(\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix} 2z \\ z \\ z \end{pmatrix} = z \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

 

\(u\)というベクトルが分からないので、とりあえず\(x, \ y, \ z\)というように成分を3つで表しておき、この\(x, \ y, \ z\)が満たすべき条件というのを考えていきます。

\(A \ – \ E\)を計算すると\(
\begin{pmatrix}
-2-1 & 2 & 4 \\
-2 & 3-1 & 2 \\
-2 & 1 & 4-1
\end{pmatrix}\)のようになるわけです。

この行列に\(x, \ y, \ z\)というベクトルを掛けていった時に、方程式が3つ得られます。

\(-3x \ + \ 2y \ + \ 4z \ = \ 0\)
\(-2 \ x \ + \ 2y \ + \ 2z \ = \ 0\)
\(-2x \ + \ y \ + \ 3z \ = \ 0\)

この3種類の式が出てきます。実は、これは独立したものの本数が少ないので、この式を解くと、無限個の答えがある、という感じになります。

これを解いて、\(x \ = \ 2z\)で\(y \ = \ z\)となっていれば、全て\(\begin{pmatrix}
-3 & 2 & 4 \\
-2 & 2 & 2 \\
-2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}\)というの満たす、ということになります。

これは、\(z\)を見つける方法がない、ということです。\(z\)を任意の数字を持ってくると、\(x, \ y\)も決まるので、\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)\)の定数倍というのが、\(\begin{pmatrix}
-3 & 2 & 4 \\
-2 & 2 & 2 \\
-2 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}\)の固有ベクトルとしての資格を持っている、ということになります。ですが、とりあえずここでは、一番簡単そうなものとして\(z \ ＝ \ 1\)とした時の\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)\)というベクトルを取っておきます。

「固有ベクトルを出してください」と言われた時は、とりあえずこのような形にしておくのが普通であると思います。

もう1つのスタンダードな方法は、\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)\)のベクトルを、長さ1になるように選ぶ、というものです。その方がメリットがあるときもありますが、今回はとりあえず手順を紹介するために、まずは見やすい方を採用していきます。

さて同様にして、固有値2に属する固有ベクトルというのも計算していきます。やり方は先程と一緒です。

■固有値２に属する固有ベクトル \(A (A \ – \ 2 \ E)u \ = \ 0\)を満たすベクトル\(u\)を探せばよい。 \(\begin{pmatrix} -2-2 & 2 & 4 \\ -2 & 3-2 & 2 \\ -2 & 1 & 4-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) \(\begin{pmatrix} -4 & 2 & 4 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) となる。これを解いて、\(y \ = \ 2x \ – \ 2x\)を得る。すなわち、 \(\mathbf{u} = \begin{pmatrix} x \\ 2x-2z \\ z \end{pmatrix} = x \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

 

\(A \ – \ 2\)倍の\(E\)に\(u\)をかけたものが0になるようなベクトル\(u\)というのを計算します。

そうすると、先ほどと同じような感じで\(\begin{pmatrix}
-2-2 & 2 & 4 \\
-2 & 3-2 & 2 \\
-2 & 1 & 4-2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}\)のようになります。これ整理してみると、\(\begin{pmatrix}
-4 & 2 & 4 \\
-2 & 1 & 2 \\
-2 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}\)となります。
これも3つ方程式ができるのですが、役に立つ、というか独立な式が1つしかなく、その結果、\(y \ ＝ \ 2x \ – \ 2z\)となってさえいればいいということです。なので\(x\)と\(z\)については、結構好きな数字を入れ放題ということになります。

よってこの固有値2に属する固有ベクトルというのは、2つのパラメーター\(x\)と\(z\)を使って\(\left(
\begin{array}{crl}
x \\
2x \ – \ 2z \\
z
\end{array}
\right)\)、このような形で書けます。

これも「\(x\)倍の何々、\(z\)倍の何々なんとか」というふうに分けておくと、この\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)\)と\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
-2 \\
1
\end{array}
\right)\)というベクトルというのが固有値2に属する固有ベクトルの代表と言えます。ちゃんとした言葉を使うならば「この固有空間の基底」となります。

実際、この\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)\)と\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
2 \\
1
\end{array}
\right)\)は、1つ目は第1成分が1ですが、2つ目の第1成分が0となっているので、1つ目の第1成分を\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
2 \\
1
\end{array}
\right)\)ではどうにもすることができません。逆に、第3成分を見ても1つ目は0で2つ目は1なので、\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)\)でもって第3成分をどうにかすることもできません。このようになっているので、1つ目と2つ目の行列の線形結合で0ベクトルになるとするならば、ベクトルの係数は両方とも0でなければいけない、ということがすぐに分かります。

つまり、「一次独立である」となっています。

そういうわけで、\(u_1\)を\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)\)というベクトル、\(u_2\)を\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)\)、\(u_3\)を\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
-2 \\
1
\end{array}
\right)\)というベクトルを3本持ってくると、これらは全て\(A\)の固有ベクトルになっています。

\(\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\) としたとき、 \(A\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_1 , \quad A\mathbf{u}_2 = 2\mathbf{u}_2 , \quad A\mathbf{u}_3 = 2\mathbf{u}_3\) となる。

 

\(u_1\)というのは固有値1に属する固有ベクトルです。なので\(A\)倍の\(u_1\)というのは、1倍の\(u_1\)、というふうになります。

\(u_2\)と\(u_3\)というのは固有値2に属する固有ベクトルです。\(A \ × \ u_2\)の計算結果は、2倍の\(u_2\)、つまり\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
4 \\
0
\end{array}
\right)\)になるということです。\(A \ × \ u_3\)も計算してみると、2倍の\(u_3\)、つまり\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
-4 \\
2
\end{array}
\right)\)となります。試しに、実際に計算して、確かめてみてください。

というわけで、行列の固有値に対して、固有ベクトルを3つ用意することができました。

ここでは確めませんが、\(u_1\)、\(u_2\)と\(u_3\)という3つ分は、実は一次独立であるということを示すことができます。\(u_2\)と\(u_3\)が一次独立だというのは先述しましたが、実は\(u_2\)、\(u_3\)と\(u_1\)というのも一次独立になっていることが、割と簡単に分かります。

というわけで、一次独立であるベクトルを、3つ用意できました。

この後、対角化はどういうふうにやっていくのかを説明しますが、その前に「どうしてそうなるか」というところの説明からしていきます。

\(A\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_1 , \quad A\mathbf{u}_2 = 2\mathbf{u}_2 , \quad A\mathbf{u}_3 = 2\mathbf{u}_3\) 並べて表すと \(A[\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3] = [\mathbf{u}_1, 2\mathbf{u}_2, 2\mathbf{u}_3] = [\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)

 

まず、固有ベクトルが3つあり、\(A\mathbf{u}_1 = \mathbf{u}_1 , \quad A\mathbf{u}_2 = 2\mathbf{u}_2 , \quad A\mathbf{u}_3 = 2\mathbf{u}_3\)という式を、横に3つ並べて書いてみるということをやると、\(A \ × \ u_1\)が\(u_1\)だったので、

\(A \ × \ u_1\)→\(u_1\)
\(A \ × \ u_2\)→2倍の\(u_2\)
\(A \ × \ u_3\)→2倍の\(u_3\)

になる、というのを、\(A \ [u_1, \ u_2, \ u_3] \ = \ [u1, \ 2u_2, \ 2u_3]\)、と表すことができます。

これについては色々と考え方がありますが、「行列の区分け法」と考えてもいいかもしれないし、「とりあえずこんなふうに計算結果を横に3つ分並べたよ」というように考えてもいいかもしれません。

\([u_1, \ 2u_2\, \ 2u_3]\)という行列ですが、\(u_1, \ u_2, \ u_3\)というベクトルに右側から\(\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\)という行列をかけた計算結果として得られる、ということが分かりますでしょうか。これは行列の計算と同じように\([u_1, \ u_2, \ u_3] \ × \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}\)の1列目\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)\)というのを計算していきます。この方法で1倍の\(u_1 \ +\)0倍の\(u_2 \ + \)0倍の\(u_3\)計算していくと、確かに\(u_1\)だけが残ります。

同様のやり方で、2列目、3列目も計算していきます。

2列目：0倍の\(u_1 \ + \ \)2倍の\(u_2 \ + \ \)0倍の\(u_3\)
3列目：0倍の\(u_1 \ + \ \)0倍の\(u_2 \ + \ \)2倍の\(u_3\)

これは、普段やっている行列の計算と同じで、2列目の計算結果は、ちょうど\([u_1, \ 2u_2, \ 2u_3]\)の2番目、\(2u_2\)になります。3列目も同様で、計算結果は\(2u_3\)となります。というわけで、\([u_1, \ u_2, \ u_3]\)は、\([\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)と表現したのと一緒だと分かります。

さらに、ここの\(u_1、u_2、u_3\)というのは、実は\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)\)、\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)\)、\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
-2 \\
1
\end{array}
\right)\)という縦ベクトルでした。

このようになっているものを、それぞれこのように成分で書いてみます。

成分で表すと \(A[\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3] = [\mathbf{u}_1, 2\mathbf{u}_2, 2\mathbf{u}_3] = [\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)

 

このようにすると、結局\(A[\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3]\)が、最終的に\([\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)と等しい、という式が得られます。

この\(A[\mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3]\)というのが、\(A [ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3]\)と対応していて、\(u_1\)が\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
1 \\
1
\end{array}
\right)\)という縦ベクトルでした。

同様に、

\(u_2\)→\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
2 \\
0
\end{array}
\right)\)
\(u_3\)→\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
-2 \\
1
\end{array}
\right)\)

という縦ベクトルになっているのをそれぞれ並べてあげると、実は\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)という3×3の行列だと考えることが出来ます。\(A \left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)というのが、\([u_1, \ u_2, \ u_3] \left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)と等しい、という式が得られます。そして、この後ろの対角行列の部分\(\left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)はそのままです。

ここの行列\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)が、\([u1, \ u2, \ u3]\)のことです。つまり、\(u1, \ u2, \ u3\)を縦に成分を展開したものになります。

そうすると、\(A \ × \ \left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 &1
\end{array}
\right)\)というのが、左から\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)を掛けたものになります。この一番右の行列は、\([u_1, \ u_2, \ u_3]\left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)の後ろの部分、対角行列を取っているところと、そのまま同じです。そして左側の\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)というのが\([u_1, \ u_2, \ u_3]\)のことです。\([u_1, \ u_2, \ u_3]\)というのを、それぞれ縦に並べた形が、この行列になります。そうすると、\(A \ ×\)行列の左辺が、左から2つの行列を掛けたもの、そのような式が得られる、ということになります。そして両辺に左から\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 &1
\end{array}
\right)\)の逆行列を掛けます。

「逆行列があるかどうか」ということもあるのですが、\(\left(
\begin{array}{crl}
2 \\
1 \\
1
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{crl}
1 \\
2 \\
0
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{crl}
0 \\
-2 \\
1
\end{array}
\right)\)がそれぞれ一次独立だとすると、それを並べて作った行列は、必ず正則行列になる、ということが知られています。つまり\(u_1、u_2、u_3\)が一次独立だと、それを並べてできた行列は、必ず逆行列を持ちます。

そのため、この逆行列を計算して、両辺に左側から掛けます。そうすると下記のようになります。

両辺に左から逆行列\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}\)をかけると\(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}　A \left( \begin{array}{crl} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \ = \ \left( \begin{array}{crl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)\)が得られる。

 

逆行列なので、肩に「-1」とつけます。左辺は、左からこの逆行列をかけた\(A \ × \ \left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)となります。これが左辺となります。

一方、右辺の方はというと、\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)という行列に、左から\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)の逆行列を掛けます。そうすると、\(\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}^{-1}\)と\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)でちょうど逆行列（逆数）のようなものになって打ち消し合い、単位行列となり、1となって消えてしまいます。

単位行列倍というのは、何も掛けないのと同じであるため、計算結果は \(\left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)のようになりますが、「本当にそんなことになるのか」ということを、一応、次に書いてみました。

\(\begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 \\ -3 & 2 & 4 \\ -2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 2 & 4 \\ -2 & 3 & 2 \\ -2 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)

 

逆行列の計算の方法については、「掃き出し法」を使うことが一般的です。（掃き出し法の計算方法については、以前に解説しているので、忘れてしまった方はそちらを参照してください。）

とにかく、\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)^{-1}\)で逆行列計算すると\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & -1 & -2 \\
-3 & 2 & 4 \\
-2 & 1 & 3
\end{array}
\right)\)となり、Aを出すと\(\left(
\begin{array}{crl}
-2 & 2 & 4 \\
-2 & 3 & 2 \\
-2 & 1 & 4
\end{array}
\right)\)になりました。\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)のところはそのままで、\(A \left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)の行列はそのままです。実際に、この左辺\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)^{-1} A \left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)が、\(\left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)になるかを計算してみましょう。

まずは最初の2つの行列\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & -1 & -2 \\
3 & 2 & 4 \\
-2 & 1 & 3
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{crl}
-2 & 2 & 4 \\
-2 & 3 & 2 \\
-2 & 1 & 4
\end{array}
\right)\)を計算します。

1つ目の行列の1行目と、2つ目の行列の1列目を計算してみると、\(2× (‐2)＋(-1)×(-2)＋(-2)×(-2)\)となるので\((1,1)\)成分になります。

他の成分も同じように計算すると、計算結果は\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & -1 & 2 \\
-6 & 4 & 8 \\
-4 & 2 & 6
\end{array}
\right)\)になります。そしてこれに後ろから\(\left(
\begin{array}{crl}
2 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -2 \\
1 & 0 & 1
\end{array}
\right)\)を掛けます。

この計算も先程の計算と同様にやると、計算結果は\(\left(
\begin{array}{crl}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right)\)となり、確かに先程の計算結果と一致することが分かります。

このようにすると、出来上がったこの行列は、対角線にしか成分が無いような行列になります。この行列のことを「元の\(A\)という行列を対角化した行列」と呼びます。

さて、今までのものは3×3の具体的な行列を例にとって紹介しましたが、一般の行列の場合にも同じようになる、ということが知られております。それを定理という形でまとめておきます。

定理１ \(λ_1, \ λ_2, \ … ,  λ_n\)を\(A\)の固有値、\(u_1, \ u_2, \ …, \ u_n\)をそれらに属する固有ベクトルとする。このとき、固有ベクトルを横に並べて作った行列\(P \ :=(u_1, \ u_2, \ …, \ u_n)\)に対して\(P^{-1}AP \ = \ \begin{pmatrix} λ_1 & 0 & \dots & & & 0 \\ 0 & λ_2 & & & & 0 \\ \vdots & & \ddots & & &\vdots \\ 0 & dots & \dots & λ_n \end{pmatrix} \) が成り立つ。

 

\(λ_1, \ λ_2 \ …, \ λ_n\)というのを、\(A\)の固有値とします。

ちなみにこの\(λ_1, \ λ_2, \ …, \ λ_n\)と書いてありますが、この中に同じ数字があっても構いません。例えば、\(λ_1\)が1、\(λ_2\)が1、\(λ_3\)が2、\(λ_4\)が2のようになっていてもいい、ということです。そうした重複も含めて\(n\)個と書きました。

それに対し、\(u_1,  \ u_2, \ …, \ u_n\)というのを、それぞれの固有値に属する固有ベクトル、というふうにします。

そしてこの\(u_1, \ u_2, \ …, \ u_n\)というのが、それらに属する固有ベクトルで一次独立なものが取れたとします。この時、その固有ベクトルを順番に並べて作った行列\(P\)というものを考えます。

それぞれの固有ベクトルというのは\(n\)次元のベクトルなので、縦に\(n\)個成分がそれぞれ並んでいるはずです。そういうベクトルを横に並べたので、この\(P\)というのはn\(×\)n行列になってます。

こうして作った行列\(P\)に対して、\(P\)の逆行列\(×A×P\)を計算すると、必ず対角線に沿って、固有値\(λ_1, \ λ_2, \ …, \ λ_n\)というのが並んだ行列にすることができる、となっています。

まず、この固有値の種類ですが、ちゃんと行列のサイズn個分だけ一次独立の値を取れないといけません。この個数が足りていないと、それを並べて作った行列というのがn\(×\)n行列になりません。適当な行列を持って来たとしても、この行列\(P\)というのがもし正則じゃないとすると\(P^{-1}\)が作れなくて困ってしまいます。

このように、色々なところに対角化を失敗させるような要素があります。これを踏まえて、今の手順は対角化できるかどうかも同時に判定できます。

今やったようにできるためには、対角化には\(P\)という行列が作れて、さらにその\(P\)というのが逆行列「\(P^{-1}\)」を持っている必要があります。

そこで定理2です。

定理２ \(A\)が対角化可能であるための必要十分条件は、\(n\)本の一次独立な固有ベクトル\(u_1, \ u_2, \ …, \ u_n\)がとれることである。

 

その為、固有ベクトルが一次独立で、行列のサイズ分用意できないとすると、それは対角化失敗する、ということになります。

ちゃんとn個用意できれば、それを並べたものが\(P\)を作れて、さらにそれらが一次独立だとすると逆行列が存在するので、このような手順で対角化できる、ということになっています。

さて、例を見ていきます。

例） \(A \left( \begin{array}{crl} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array} \right)\) この行列の固有値は1、2となる。固有ベクトルを求めると、 \(u_1 \ = \ \left( \begin{array}{crl} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \ u_2 \ = \ \left( \begin{array}{crl} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\) であり、行列のサイズ3に対して、一次独立な固有ベクトルの本数が2本しかない。よってこの行列は対角化不可能である。

 

これも前回の動画で出てきた例のうちの1つですが、もし\(A\)がこのような行列になっていたとしたら、計算は全て省いていますが、固有値を計算してみると1と2、というふうになります。1が重複度1で、2というのが重解になっています。そのため、本来であれば固有値1に属する固有ベクトル1個と、固有値2に属する固有ベクトル2個で合わせて3つの一次独立なベクトルができて欲しいのですが、固有ベクトルを先程やったのと同じような方法で計算してみると、固有値1に属する固有ベクトルは\(\left(
\begin{array}{crl}
1 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)\)というのが1個できる、となるのですが、固有値2に属する固有ベクトルが、\(\left(
\begin{array}{crl}
0 \\
1 \\
0
\end{array}
\right)\)という行列1本しかありません。これ以外に、固有値2に属する固有ベクトルが作れない、というふうになってしまいます。そうすると、行列のサイズが3なのにに対し、一次独立な固有ベクトルの本数が2本しか取れません。よって、この行列は対角化不可能であることが分かります。

実は行列\(A\)の2行の「1」という成分がいなければ、ほぼ対角化が終わったような行列の状態になるのですが、ここに1がついてるので対角化はできていません。\(A\)のジョルダン標準形という形をしてる行列です。対角化できない行列は仕方がないので、次善策として「ジョルダン標準形を計算しよう」となるのですが、ジョルダン標準形までは少し程度が高いので今回は触れません。

対角化の計算手順

行列の対角化の計算手順を、改めて順番通りに整理しておきます。

1.  行列\(A\)の固有値を計算する 2. 各固有値に属する固有ベクトルを計算する。一次独立な固有ベクトルが行列のサイズ分だけ用意できれば対角化可能、できなければ対角化不可能 3. 固有値を対角線に沿って並べた行列\(A \ = \ \begin{pmatrix} λ_1 & 0 & \dots & & & 0 \\ 0 & λ_2 & & & & 0 \\ \vdots & & \ddots & & &\vdots \\ 0 & \dots & \dots & & λ_n \end{pmatrix} \)が\(A\)を対角化したものになる 4. 固有値を並べた順に対応する固有ベクトルを順に横に並べた行列\(P \ = \ (u_1, \ u_2, \ …, \ u_n)\)が変換行列となる。すなわち\(P^{-1}AP \ = \ A\)

 

1.　とりあえず一番最初にまずやることは行列\(A\)の固有値を計算することです。固有多項式を作り、固有多項式\(= \ 0\)という方程式を考えます。その解を持ってきて行列Aの固有値を計算します。とにかく固有値を知る必要があります。

2.　次のステップは、出来上がりだけ知りたいのであれば固有値を計算してそれで終わりです。この行列\(A\)が対角化できる保証があるならそれで終わりにしてもいいのですが、もちろん対角化できない可能性があります。対角化できるかどうかを調べるためには、次の手順がどうしても必要になり、各固有値に属する固有ベクトルを計算していきます。一次独立な固有ベクトルが、行列のサイズ分だけ用意できれば対角化可能、できなければ対角化不可能となります。ここまでやると、対角化可能か不可能かの判断がつきます。（一応、他の定理から「確実に対角化できる」ということを知る方法はありますが、それは別の機会に紹介したいと思います。）

3. とりあえず出来上がりの行列を作ります。対角化し終わるとどうなるかということですが、これは簡単で、固有値を対角線に沿って並べた行列というのが、\(A\)を対角化したものになります。上記のように斜めに\(λ_1,  \ λ_2, \ …, \ λ_n\)というのを並べたものです。ここで注意がありまして、重複している固有値は、ちゃんと重複度の数だけ並べてあげてください。例えば、固有方程式が\((x-1)(x-2)^2 \ = \ 0\)という多項式になったとします。実際は、固有値は1と2なのですが、「固有値は1と2と2」のように考えてみてください。ダブっている、というような感じです。このように考えると、固有多項式、固有方程式はn次式になるので、それらの答えというのは、複素数の範囲でなら必ず重複を含めてn個の答えがある、となるので、そのn個分を斜めに並べたものになります。これが対角化したもの、となります。しばしば大文字で「Λ」と表したりします。

4. 作り終わりは3.で記した行列のようになりますが、諸々の理由で、この行列に変換する変換行列\(P\)が必要になることがほとんどです。この\(P\)というのは、この出来上がりの対角行列を作った時に、固有値を斜めに並べました。この固有値を並べた順に、対応する固有ベクトルを横から順に並べたものを\(P\)と言います。\(u_1\)が固有値\(λ_1\)に対応する固有ベクトル、\(u_2\)が固有値\(λ_2\)に対応する固有ベクトルというように、並べたものを\(P\)というふうにすると、この\(P\)というのが変換行列となります。だからこの行列を使って\(P^{-1}×A×P\)を計算すると、\(Λ\)が出てくる、というふうになっています。

ちなみに対角化の仕方というのは、この斜めの並べ方を変えると答えが変わったりします。ただ、とにかく固有値を並べ替えた分ぐらいしか違いはないので、固有値が全部実数だったとすると、普通は「並べてください」と言われたら小さい順に並べるか、もしくは大きい順に並べるか、どちらかすると思います。（複素数が入ってくると「大きい順」「小さい順」などの概念がないため、どうするかという感じですが）。とにかく、この斜めの並べ方の差を除いて、元の行列に対してその対角化というのは、ほぼちゃんとバシッと決まります。

 

今回の解説は以上です

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講師：久松真人

東京工業大学卒業。東京工業大学大学院数学研究科博士課程修了。数学に特化した講師です。大学受験はもちろん、大学授業補習、大学院入試のサポートにも熟練しています。また、大学の情報系科目のサポートも経験があります。穏やかな性格と柔らかい雰囲気、丁寧な指導、そして数学愛が溢れる、おすすめ講師です。☆大学授業補習の詳細はこちら

動画紹介
【究進塾】大学補習チャンネル
【大学数学】線形代数 第6回 -行列の対角化-（所要時間： 32分03秒）